概率论-参数检验

参数假设检验需要有数理统计的知识基础,知道样本,总体,样本的统计量与总体统计量的关系,以及样本的统计量服从的统计分布

假设检验

定义
$$
\begin{array}{l}
显著性水平\alpha:拒绝域对应的概率\
双边假设检验(两边都有限制)，单边假设检验(右检验：拒绝域在右边)\
H_0原假设，H_1备选（拒绝原假设）\
P{Ⅰ类错误}=P{H_0成立，但样本拒绝了}=P_{\theta\in H_0}{\theta \notin H_0}\
P{Ⅱ类错误}=P{H_0不成立，但样本接受了}
=P{H_1成立，样本接受了}=P_{\theta \in H_1}{\theta \in H_1}\
P{Ⅰ类错误}+P{Ⅱ类错误}+P{没错误}=1
\end{array}
$$

要用定义法求解（要理解通过参数范围缩放）

双边检验

双向单边检验,若单边Z>a,则双边为|Z|>a

单边检验

$$
\begin{array}{l}
总体X\sim N(\mu,\sigma^2)，\mu，\sigma未知，样本容量为n，\overline{X}，S^2。置信度1-\alpha为0.9，\
求\mu>\mu_0接受条件\
定义法：\
X\sim N(\mu,\sigma^2)，则T=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)\
设H_0:\mu>\mu_0,H_1:\mu \leq \mu_0\
P{Ⅰ类错误}=P{H_0成立样本拒绝}=P_{\mu>\mu_0}{\overline{X}\leq k}=
P_{\mu>\mu_0}{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu_0)}{S}\leq \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}\
因为\mu>\mu_0,
可得P_{\mu>\mu_0}{\overline{X}\leq k}\leq
P_{\mu>\mu_0}{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}\leq \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}=
P_{\mu>\mu_0}{T\leq \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}=
0.1 \quad (置信度0.9，犯一类错误概率最大0.1)\
\frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}=t_{0.9}(n-1) \quad 求出k=\frac{St_{0.9}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0\
由此可得拒绝域：\overline{X}\leq \frac{St_{0.9}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0，
接受域：\overline{X} > \frac{St_{0.9}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0\
\
H_0为:\mu>\mu_0时,应该接受H_0，\
则接受条件为接受域\overline{X}> \frac{St_{0.1}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0
\\\
设H_0:\mu \leq \mu_0,H_1:\mu>\mu_0\
P{Ⅰ类错误}=P{H_0成立样本拒绝}=P_{\mu \leq \mu_0}{\overline{X}> k}=
P_{\mu \leq \mu_0}{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu_0)}{S}> \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}\
因为\mu \leq \mu_0,
可得P_{\mu \leq \mu_0}{\overline{X}> k}\leq
P_{\mu \leq \mu_0}{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{S}> \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}=
P_{\mu>\mu_0}{T> \frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}}=
0.1 \quad (置信度0.9，犯一类错误概率最大0.1)\
\frac{\sqrt{n}(k-\mu_0)}{S}=t_{0.1}(n-1) \quad 求出k=\frac{St_{0.1}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0\
由此可得拒绝域：\overline{X}> \frac{St_{0.1}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0，
接受域：\overline{X} \leq \frac{St_{0.1}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0\
\
H_0为:\mu \leq \mu_0时,应该拒绝H_0，\
则接受条件为拒绝域\overline{X}> \frac{St_{0.1}(n-1)}{\sqrt{n}}+\mu_0

\
\end{array}
$$

第Ⅱ类错误计算

初学时由于对概念不清,可能很容易以为Ⅰ+Ⅱ类错误概率和为1,但实际还有不犯错的概率.

第Ⅱ类错误需要单独讨论

$$
\begin{array}{l}
X_1,X_2为正态总体N(\mu,1)样本,设H_0:\mu=2,H_1:\mu=4,\
拒绝域为W={\overline{X}>3},\overline{X}=\frac{1}{2}\sum X_i,\
求Ⅰ类错误概率\alpha和Ⅱ类错误概率\beta\
\
由样本均值可知Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)\
\
\alpha=P{Ⅰ类错误}=P{\overline{X}>3|H_0}=P{Z>\sqrt{2}(3-2)|\mu=2}=P{Z>\sqrt{2}}=1-\Phi(\sqrt{2})\
\
\beta=P{Ⅱ类错误}=P{\overline{X}\leq 3|H_1}=P{Z \leq \sqrt{2}(3-4)|\mu=4}=P{Z \leq -\sqrt{2}}=\Phi(-\sqrt{2})=1-\Phi(\sqrt{2})\
\
\end{array}
$$