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数学一

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高等数学

中值定理

  1. 费马引理（由该定理依次证明2.3.4）
  2. 罗尔定理
  3. 拉格朗日定理
  4. 柯西中值定理

重点思考方向：

  1. 极限保号性（在端点处出现极限时使用）
  2. 构造函数（当出现证明存在ξ成立的等式）：一般xf(x),以及与e^x的函数

多元函数极限

https://zhuanlan.zhihu.com/p/98921951

多元函数极限不同于一元极限，多个变量由于维度增加，极限的移动路径不唯一，因此洛必达、等价无穷小的适用范围大大缩小，该类题型一般不会出使用一般方法求解的题。

常用方法：

  1. 有理化
  2. 放缩
  3. 极限定义
  4. 夹逼准则

放缩

放缩公式https://zhuanlan.zhihu.com/p/396423540

常用放缩不等式：

  1. $sinx<x<tanx \quad [x\in (0,\pi/2)]$
  2. $x/(1+x)<ln(x+1)<x\quad [x\in (0,+\infty)]$
  3. $x<x+1<e^x\quad [x\in (0,+\infty)]$
  4. $x^2+y^2 \geq 2xy$
  5. $|x-y|\geq x-y$
  6. $泰勒放缩$

多元函数微分

2012数一.3
2016数一.4
2020数一.2

雅可比矩阵 jacobian matrix

在线性空间中定义的积分，需要通过换元简化积分计算，
在换元时微分需要雅可比矩阵实现线性映射
例题24-660-114

积分因子法 integrating factor

对于隐函数求原函数可以通过构造积分因子让可表示为全微分形式，简化求解

微分方程

https://zhuanlan.zhihu.com/p/580375148?utm_id=0

一阶：

  1. 一阶线性微分方程-公式
  2. 可分离-分离
  3. y/x型-y/x换元
  4. 伯努利微分方程-将Q(x)x^α除过去再换元后变成1阶线性，通过公式求解

高阶：

  1. y’’=f(x)-可直接换元降解型
  2. y’’=f(x,y)- y’换元u
  3. y’’=f(y’,y)-y’换元u,y’’=du/dy*u

高级常系数齐次：特征方程求解通解

高级常系数非齐次：齐次通解+特解

高阶微分方程性质：

  1. 非齐次特解差为齐次通解
  2. 齐次通解+非齐次特解=非齐次通解

欧拉方程：通过换元求解
https://zhuanlan.zhihu.com/p/444842746

微分物理应用

数一早期0几年前常考，近10年基本不考
主要是微分定义的考察，通过构建一个微分等式求解，本质是微分方程求解。

积分几何应用

主要为平面和空间积分

平面积分

平面主要是二重积分计算

空间积分

  • 曲线积分：

    1. Ⅰ型曲线：封闭-使用曲线的方向余弦（单位方向向量）转为Ⅱ型，不封闭-直接利用投影转换到单个维度计算积分。
    2. Ⅱ型曲线：封闭曲线-斯托克斯公式+方向余弦转Ⅰ型曲面积分。不封闭-直接分维度计算或转Ⅰ型

  • 曲面积分：

    1. Ⅰ型曲面：转为投影面的平面积分
    2. Ⅱ型曲面：封闭-高斯公式转三重积分。不封闭-补面高斯或利用方向余弦转Ⅰ型曲面计算。
  • 方向余弦：单位的曲面法向量或曲线方向向量
  • 斯托克斯公式利用方向余弦转为Ⅰ型曲面无方向
  • 斯托克斯公式与rot旋度算子公式类似
  • 坐标变换中不规则圆可以先线性变换后再极坐标变换
  • $x^{2/3}+y^{2/3}=1$面积计算
    格林公式无定义点2021.20

级数收敛、和函数计算

真题背景：
收敛的证明除了简单形式的级数和数列可以通过一般方法直接证明，其它都需要结合题目条件。
对于数一题目，必然是无法直接一般方法证明。
如21（18），20（17），19（18），18（19），16（19），且22，23未考，24概率极大。
并且级数的重点由单一收敛证明、计算和函数转向为求收敛域、复杂通项的计算

收敛常用思想：

  1. 放缩：利用基本不等式放缩；利用条件放缩;
  2. 20（17）求导？19（18）换元？18（19）中值定理？16（19）跨度？

主要利用条件，结合条件形式考虑方法，不能快速找到->立即放弃

无穷级数

初级 https://zhuanlan.zhihu.com/p/638303774?utm_id=0

深入 https://zhuanlan.zhihu.com/p/113428001?utm_id=0

（2016数一.19）

级数敛散性

比值-根值-比较法极限形式-比较法-定义法

  • P级数通过积分审敛法证明
  • 广义P积分 $1/{n^bln^an}$，当a<1时任意b都发散，a=1时，b>1收敛，b<=1发散

线性代数

矩阵相似

线性方程组的解与空间平面位置关系

三个平面位置可能性

平面的一般方程ax+by+cz=d,(a,b,c)为法向量，法向量组成系数矩阵A，三个方程组成增广矩阵A’，假设有三个平面，那么平面的可能性有图中8种。

A的秩表示三个法向量的关系，A’的秩和A秩的关系表示解的类型

RA和RA’有9种情况，其中由于增广阵只与A多一列，秩最多+1，并且RA’>RA，

RA RA’ 类型 说明
1 1 7 三个法向量成比例，且三个平面存在公共解，秩相等
1 2 1，4 三个法向量成比例，且三个平面无公共解，秩不相等
2 2 6，8 存在一个向量与三个法向量内积为0，即存在齐次解，且三个平面存在公共解，秩相等
2 3 2，3 存在一个向量与三个法向量内积为0，即存在齐次解，且三个平面无公共解，秩不相等
3 3 5 三个法向量无解，且且三个平面存在一个交点，秩相等

矩阵相似判定条件

定义：$$\exist P可逆,有 P^{-1}AP=B \leftrightarrow A\sim B$$

充要条件：

  1. 定义
  2. $$\forall \mu,有\mu E-A \sim \mu E-B$$
  3. $$特征矩阵 \lambda E-A \cong \lambda E-B$$
  4. $$转置 A^{T}\sim B^{T} $$

必要条件：

  1. 行列式，秩、迹相同
  2. 都可或不可对角化
  3. 特征值相同，且特征值对应特征向量个数相同
  4. A B可逆条件下，A逆相似B逆，A逆+A相似B逆+B

数一2018.5

$$
证 (\begin{matrix}
1&1&0\
0&1&1\
0&0&1\
\end{matrix}) \sim (\begin{matrix}
1&1&-1\
0&1&1\
0&0&1\
\end{matrix})
$$

实对称矩阵相似对角化

实对称矩阵可以相似对角化 数学归纳法证明
https://www.bilibili.com/video/BV1sL4y1K7ce

矩阵特质值特征向量与相似关系

矩阵A的函数f(A)的特征值对应变化，特征向量不变，相似矩阵的特征向量之间存在关系，可以推导

秩不满不可逆但可能与对角阵相似

*矩阵A的n次方计算
2016数一21

分块矩阵的秩

  1. 向量组(a1,..an)无关,(b1…bn)无关=>(a1,..an,b1…bn)无关

  2. 利用1证明
    $$
    r(\begin{matrix}
    A&0\
    0&B\
    \end{matrix})=
    r(\begin{matrix}
    0&B\
    A&0\
    \end{matrix})=
    r(A)+r(B)$$

  3. 可利用2证明
    $$
    r(\begin{matrix}
    A&0\
    C&B\
    \end{matrix})=
    r(\begin{matrix}
    C&B\
    A&0\
    \end{matrix})\geq
    r(A)+r(B)$$

  4. A可逆有（A能够通过行列变换表示C）：
    $$
    r(\begin{matrix}
    A&0\
    C&B\
    \end{matrix})=
    r(\begin{matrix}
    C&B\
    A&0\
    \end{matrix})=
    r(A)+r(B)$$

  5. AB可由A列向量线性表示（左行右列）

  6. BA可由A行向量线性表示

  7. 56中当B可逆时，为初等变换，B可由初等矩阵表示

  8. r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

向量组与矩阵等价差异

向量组等价和矩阵等价不同，向量组等价：两个向量组可相互线性表示。
矩阵等价：通过初等变换相等；
矩阵行等价等价于行向量组等价，列同理；

相似合同等价关系

相似（P逆AP=B）、合同（P转AP=B）、等价（P1AP2=B）关系：在实对称矩阵条件下，相似合同等价，相似可推出等价

施密特正交化

  • 施密特正交化应用于正定二次型中，对称矩阵对角化。当矩阵是实对称矩阵必然有单位正交阵使其与对角阵合同。
  • 注意相似中矩阵相似转化不需要正交化
  • 实对称矩阵不同特质值特征向量必定正交，但非实对称矩阵不同特征值的特征向量不一定正交
  • 矩阵正交化的含义（通过减去两个向量的投影部分实现正交）https://zhuanlan.zhihu.com/p/136627868?utm_id=0

特殊行列式计算

概率论

事件运算准则

似然函数单调，参数越大L越大或越小，则由题目条件确定参数的最大或最小值。
一般L随参数递增，参数越大L越大，θ=min{x1,x2,…,xn}（部分题目中概率密度函数中x>θ，所以可以推出），L递减，θ=max{x1,x2,…,xn}

对于max类型的函数，即非连续的函数随机变量，其分布函数与概率密度通过定义求解，即F(x)=P{f(x)<x}，并利用条件将该函数转化为可计算的随机变量的函数。参考2016数一22，23题
随机变量最大值与最小值函数的分布函数求解 2003年数一最后一题

指数分布的无条件性

大数定律

  • https://zhuanlan.zhihu.com/p/165479232?utm_id=0
  • https://zhuanlan.zhihu.com/p/259280292?utm_id=0

无偏性与相合性有效性
https://www.zhihu.com/question/22983179?utm_id=0

  • 无偏性即参数的期望等于该参数，如正态总体样本方差的定义中除的是(n-1)而不是n，就是该原因。参考2015数一23题
  • 相合性（一致性），有偏估计中偏差值随着样本增大而减小，即表示具有一致性
  • 有效性，如果估计的参数计算出样本的方差越小即越有效

区间估计
https://zhuanlan.zhihu.com/p/96832616?utm_id=0

  • 单正态总体的样本均值、方差与总体样本方差之间存在一些特殊的分布，可以实现方差已知和未知条件下均值的区间估计，有卡方和T分布
  • 两个正态总体的样本通过F分布，估计其中一个总体的均值

*独立性证明

*随机变量函数分布求解

错题